Qu'est-ce qu'une base, au fond ?
Avant de voyager dans le temps, posons les bases (sans mauvais jeu de mots).
Une base, c'est un système de comptage. La base 10, celle que nous utilisons tous les jours, repose sur les puissances de 10 : les unités (10⁰ = 1), les dizaines (10¹ = 10), les centaines (10² = 100), et ainsi de suite. Avec ces briques, on peut construire n'importe quel nombre. Par exemple, 321, c'est trois centaines, deux dizaines, une unité. Simple, non ?
Au risque de se répéter, ce choix n'a rien d'universel. D'autres civilisations ont fait d'autres paris. Certaines ont choisi 20, d'autres 60. Et ces choix ne sont pas que des curiosités historiques. Ils reflètent des besoins, des pratiques commerciales, des manières de découper le monde.
Voyons comment trois grandes civilisations ont compté autrement.
En Égypte : quand l'ordre n'a aucune importance
Commençons par le plus simple : le système égyptien.
Les Égyptiens comptaient en base 10, comme nous. Jusque-là, rien de surprenant. Mais leur manière d'écrire les nombres était radicalement différente de la nôtre.
Ils utilisaient un système additif pur, c'est-à-dire un système où la valeur d'un nombre est simplement la somme des symboles qui le composent. Peu importe l'ordre : on additionne, point final.
Voici leurs principaux symboles :
- Un trait vertical : 1
- Une anse (ou arc) : 10
- Un rouleau de corde : 100
- Une fleur de lotus : 1 000
- Un doigt pointé vers le ciel : 10 000
- Un têtard : 100 000
- Un homme agenouillé, bras levés : 1 000 000
Pour écrire un nombre, il suffisait de dessiner les symboles nécessaires. Par exemple, pour écrire 23, on dessinait deux anses (20) et trois traits (3). Peu importe l'ordre : ||| ∩∩ ou ∩∩ ||| donnent toujours 23.
Comment les Égyptiens auraient-ils écrit 1 243 ?
- Une fleur de lotus (1 000)
- Deux rouleaux de corde (200)
- Quatre anses (40)
- Trois traits (3)
En alignant ces symboles — dans n'importe quel ordre — ils obtenaient 1 243.
Avantage : Système très visuel, facile à comprendre.
Inconvénient : Pour écrire de très grands nombres, il faut beaucoup de symboles. Et surtout, impossible de faire des calculs complexes efficacement. Essayez de multiplier deux grands nombres écrits en hiéroglyphes… Bon courage.
En Mésopotamie : la base 60 qui gouverne encore nos montres
Sautons maintenant quelques siècles et quelques milliers de kilomètres. Direction la Mésopotamie, berceau de l'écriture cunéiforme.
Les Babyloniens ont fait un choix étonnant : ils comptaient en base 60.
Pourquoi 60 ? Probablement parce que ce nombre est exceptionnellement divisible. On peut le diviser par 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 et 30. Pratique pour le commerce, le partage des terres, les calculs astronomiques. La base 10, elle, ne se divise que par 2 et 5. Bien moins flexible.
Les Babyloniens utilisaient deux symboles principaux gravés dans l'argile :
- Le clou (un trait vertical) : 1
- Le chevron (un signe en forme de V tourné à 90 degrés vers la droite) : 10
1
10
Pour écrire les nombres de 1 à 59, ils combinaient ces symboles de manière additive.
Par exemple :
- 8 : huit clous
- 47 : quatre chevrons et sept clous (40 + 7)
Mais au-delà de 59, le système devenait positionnel. C'est-à-dire que la position du symbole changeait sa valeur.
Comment écrire 123 ? Il faut décomposer 123 = 2 × 60 + 3 × 1
On écrivait donc : deux clous, suivis (après un petit espace) de trois clous.
Dans notre notation moderne, on pourrait l'écrire 2:3 (deux soixantaines, trois unités).
Et pour écrire 7 481 ? C’est 7 481 = 2 × 3 600 + 4 × 60 + 41 × 1
Ainsi, il fallait deux clous, puis quatre clous et enfin quatre chevrons et un clou. En notation moderne, cela donne 2:4:41. (Notez qu'en base 60, la troisième position représente , tout comme en base 10 la troisième position représente .)
Vous utilisez ce système tous les jours
Cela vous semble abstrait ? Pourtant, vous pratiquez la base 60 quotidiennement, sans même y penser. Si je vous dis qu'une vidéo dure 123 secondes, combien dure-t-elle en minutes ? Vous répondez immédiatement : 2 minutes et 3 secondes.
Ce passage de 123 secondes à 2:3 (minutes:secondes) est exactement le même que celui des Babyloniens. Sans trop y penser, vous venez de compter en base 60. De manière similaire, si l’on se demande combien d'heures, de minutes et de secondes dure un film de 7 481 secondes, on parviendra à répondre 2 heures, 4 minutes et 41 secondes (2:4:41) en appliquant la logique de la base 60.
On le constate donc, la base 60 n'a jamais disparu. Elle gouverne encore nos montres, nos horloges, nos chronomètres. Elle se cache même dans les 360 degrés d'un cercle complet (6 × 60).
Chez les Mayas : quand le zéro change tout
Traversons maintenant l'Atlantique, direction l'Amérique précolombienne.
Les Mayas, comme les Babyloniens, ont développé un système positionnel. Mais ils ont fait un choix différent pour leur base : 20. Pourquoi 20 ? Une hypothèse plausible est qu’ils comptaient peut-être sur leurs doigts et leurs orteils.
Les Mayas utilisaient deux symboles principaux :
- Un point (●) : 1
- Une barre horizontale (—) : 5
Pour écrire un nombre entre 1 et 19, ils combinaient ces symboles de manière additive.
Mais au-delà de 19, le système devenait positionnel. Et contrairement aux Babyloniens qui écrivaient horizontalement, les Mayas écrivaient verticalement.
Exemple : Comment écrire 27 ?
27 = 1 × 20 + 1 × 5 + 2 × 1
- En haut : un point (une vingtaine)
- En bas : deux points + une barre (sept unités)
L'invention capitale : le zéro
Voici où les Mayas ont brillé. Ils ont compris très tôt qu'il fallait un symbole pour représenter l'absence. Sinon, comment distinguer 27 (1 vingtaine, 7 unités) de 407 (1 « quatre centaine », 7 unités) ?
Les Mayas ont inventé un symbole pour le zéro : un dessin stylisé de coquillage (ou parfois une forme ovale).
Ainsi, comment écrire 407 ?
407 = 1 × 400 + 0 × 20 + 7 x 1
- En haut : un point (une unité de 400)
- Au milieu : un coquillage (zéro vingtaine)
- En bas : deux points et une barre (7 unités)
Cette invention du zéro — indépendante de celle que fit également le peuple indien — est une prouesse mathématique. Elle montre que les Mayas ne se contentaient pas de compter : ils pensaient les nombres de manière abstraite.
Notons aussi que les Mayas, dans le contexte spécifique du calendrier, faisaient un accroc à leur base : au lieu de 400 (20²), le troisième palier était de 18 × 20 = 360, pour approcher la durée de l'année solaire. Comme quoi la souplesse est possible, même dans l'apparente rigidité des mathématiques.
Pourquoi la base 10 a-t-elle gagné ?
Aujourd'hui, presque toute la planète compte en base 10. Pourquoi en est-il ainsi ?
La raison la plus probable est anatomique : nous avons dix doigts. Depuis toujours, les humains comptent sur leurs doigts. C'est simple, intuitif, universel. Mais d'un point de vue mathématique, la base 10 n'est pas la plus pratique. Elle ne se divise que par 2 et 5. Comparée à la base 60 (divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12…), c'est plutôt pauvre.
Certains mathématiciens ont d'ailleurs proposé d'adopter la base 12 (appelée système duodécimal). Un peu comme la base 60, la base 12 est plus riche en diviseurs : 2, 3, 4, et 6. Les fractions, dans cette base, deviendraient beaucoup plus simples : 1/3 s'écrirait 0,4 en base 12 (au lieu de 0,333… en base 10). Fini les décimales infinies agaçantes.
Mais changer de base à l'échelle mondiale est une idée plutôt utopique. Nous sommes prisonniers de nos dix doigts et de plusieurs millénaires d'habitudes.
Les Romains :
mention spéciale pour un système bancal
Avant de conclure, impossible de ne pas glisser un mot à propos des Romains. Leur système — I, V, X, L, C, D, M — est à la fois additif et soustractif.
- III = 1 + 1 + 1 = 3 (additif)
- IV = 5 - 1 = 4 (soustractif)
L’idée est certes ingénieuse pour économiser des symboles, mais c'est aussi terriblement inefficace pour les calculs. Pour vous en convaincre, essayez de multiplier XXIII par XIV. Bon courage !
Pourtant, ce système a survécu. On le retrouve encore sur les horloges, dans les premières pages de certains livres, sur les monuments. C’est probablement dû à une certaine élégance visuelle et aussi, voire surtout, au fait que, parfois, les traditions résistent mieux que la logique.
Conclusion : chaque base raconte une histoire
Aujourd'hui, la base 10 semble aller de soi. Nous l'avons apprise à un si jeune âge que nous oublions qu'il s'agit d'un choix — et pas forcément du plus logique.
Les Babyloniens, avec leur base 60, pouvaient diviser facilement par une douzaine de nombres différents. Les Mayas, avec leur base 20, avaient déjà compris l'importance du zéro. Les Égyptiens, avec leur système additif, privilégiaient la clarté visuelle sur l'efficacité calculatoire.
Chaque base raconte une histoire. Celle des besoins d'une civilisation, de ses pratiques commerciales, de sa manière de découper le monde.
Et si, demain, nous basculions vers la base 12, serions-nous si déstabilisés ? Après tout, nos mois, nos heures, nos œufs… tout cela fonctionne déjà par douzaines. Peut-être qu'un jour, quelqu'un osera franchir le pas.
En attendant, la prochaine fois que vous regarderez l'heure, souvenez-vous que votre montre parle encore babylonien. Pas si morte que ça, la base 60.
Références
Georges Ifrah, Histoire universelle des chiffres, Robert Laffont, 1994..
Pour une discussion sur les avantages théoriques de la base 12, voir : Brian Butterworth, The Mathematical Brain, Macmillan, 1999, chapitre 8.