Marche
ou
compte

Vous marchez probablement entre 3 000 et 10 000 pas chaque jour sans y penser. Pourtant, chacun de vos pas suit des lois mathématiques précises que votre corps a découvertes sans calcul. De l'optimisation énergétique à la géométrie de votre foulée, voici ce que les mathématiques révèlent sur cette activité banale mais fascinante.

D'où viennent ces fameux 10 000 pas ?

En 1964, quelques mois avant les Jeux olympiques de Tokyo, une compagnie japonaise lance un podomètre appelé « manpo-kei » (万歩計), littéralement « compteur de 10 000 pas ». Pourquoi 10 000 ? Ce n’était pas le fruit d’une étude scientifique rigoureuse : le chiffre a plutôt été choisi parce que le symbole 万 (10 000) ressemble visuellement à une personne qui marche, et que ça sonnait bien en marketing.

Coup de chance remarquable : les études épidémiologiques modernes montrent que 7 000 à 10 000 pas quotidiens correspondent effectivement à une plage optimale pour la santé cardiovasculaire (Paluch et al., 2022). Le marketing japonais des années 60 avait visé juste par intuition.

Pour un adulte moyen, 10 000 pas représentent environ 7 à 8 kilomètres, ce qui équivaut à 60-90 minutes de marche selon le rythme. Mais justement, quel rythme choisir ? Existe-t-il une vitesse de marche optimale ?

Votre vitesse optimale
(ou comment votre corps fait du calcul différentiel)

Imaginez que vous deviez assister à un rendez-vous dans un lieu situé à 2 km de distance. Vous pouvez :

• Marcher très lentement (3 km/h) : cela prend 40 minutes
• Marcher normalement (5 km/h) : cela prend 24 minutes
• Marcher très rapidement (7 km/h) : cela prend 17 minutes

Laquelle de ces options est la moins coûteuse en énergie pour votre corps ?

Intuitivement, on pourrait croire que « plus c'est lent, moins ça coûte ». C'est toutefois faux. Marcher très lentement est énergétiquement inefficace parce que vous devez constamment vous stabiliser, vous rattraper, maintenir l'équilibre. À l'inverse, marcher très vite demande un effort musculaire intense et combat davantage la résistance de l’air.

En 1958, H.J. Ralston de l'Université de la Californie a proposé un modèle mathématique capable d'indiquer le coût énergétique d'une marche en fonction de la vitesse. Ce modèle, ici présenté de manière simplifiée et adapté pour utiliser des unités usuelles, est le suivant :

$$C(v)=m(\frac{\mathrm{1,74}}{v}+\mathrm{0,08833}v)$$

où $C$ est le coût énergétique exprimé en kilocalories par kilomètre parcouru, $v$ est votre vitesse en km/h et $m$ est votre masse en kilogrammes.

Il est important de préciser que ce modèle est valide pour des vitesses de marche jusqu'à environ 6 à 7 km/h. Au-delà, la formule surestime le coût réel, puisqu'on se rapproche de la transition marche-course où la biomécanique change fondamentalement.

Comment se comporte cette fonction ? Le graphique de la page suivante l'illustre bien : à basse vitesse, le coût explose (stabilisation continue) ; à haute vitesse, il remonte aussi (effort musculaire accru). Entre les deux, un minimum se dessine. Ce minimum énergétique semble se trouver légèrement sous la barre des 5 km/h. Le calcul différentiel nous permet d'évaluer exactement cette valeur à 4,44 km/h (voir encadré).

Cela dit, pour ceux qui n’auraient pas suivi ce cours, l’approximation graphique suffit à remarquer le minimum.

Cette vitesse de 4,44 km/h est étonnamment proche de celle que la plupart des gens choisissent spontanément quand ils marchent calmement sans pression de temps (généralement entre 4 et 5 km/h, selon les études). Votre corps a résolu ce problème d'optimisation à travers des millions d'années d'évolution et des milliers de kilomètres d'expérience personnelle, sans jamais toucher à une calculatrice.

Une limite du modèle, à garder en tête. Le modèle de Ralston est simplifié : il prédit une vitesse optimale unique, indépendante de la morphologie. Or, il est évident qu'une personne mesurant 1,50 m et une autre mesurant 1,90 m n'ont pas exactement la même allure spontanée. Nous verrons plus loin, avec le nombre de Froude, comment intégrer la géométrie du corps. Ralston nous dit combien coûte la marche ; Froude nous dira pourquoi la vitesse préférée varie d'une personne à l'autre.

Avant de poursuivre, gardons à l'esprit que le modèle de Ralston, bien qu'une solide base théorique, a aujourd'hui été peaufiné par d'autres chercheurs afin de tenir compte de différents facteurs tels que le type de terrain, la présence de virages, etc.

Pourquoi personne ne marche à 10 km/h ?

Le modèle de Ralston a un corollaire intéressant : au-delà d'une certaine vitesse, marcher devient plus coûteux que courir à la même vitesse. C'est la fameuse transition marche-course.

En marche, vous avez toujours un pied au sol. C'est stable mais énergétiquement coûteux lorsque la vitesse augmente : vos jambes doivent freiner puis accélérer votre masse à chaque pas (pensez à pousser une voiture — la remettre en mouvement coûte plus cher que maintenir sa vitesse).

En course, il y a une phase aérienne et vous utilisez l'élasticité de vos tendons comme des ressorts, ce qui récupère une partie de l'énergie. Au-delà de 7 à 8 km/h, ce mécanisme devient plus efficace que la marche.

Votre corps détecte ce croisement et passe spontanément à la course. Voilà pourquoi vous ne pouvez pas « décider » de marcher à 10 km/h durablement — c'est biomécaniquement contre-productif.

La loi d'échelle universelle

Le modèle de Ralston nous dit à quelle vitesse minimiser la dépense énergétique, mais il ne dit rien de la morphologie. Pour comprendre pourquoi un grand marche plus vite qu'un petit, il faut changer de lunettes : passer de l'énergie à la géométrie du corps.

La jambe-pendule

Votre jambe, lorsqu'elle oscille librement pendant la marche, se comporte un peu comme un pendule. Et comme tout pendule, elle possède une fréquence de résonance naturelle — un rythme auquel elle oscille avec un minimum d’effort.

L'analogie la plus parlante est celle d'un enfant que l'on pousse sur une balançoire. Si on pousse au bon rythme (la fréquence naturelle), il n'y a besoin que de petites poussées. Si on pousse deux fois plus vite ou deux fois plus lentement, l'effort à fournir devient considérable pour combattre le système.

Pour la marche, c'est exactement le même principe : marcher à la fréquence de résonance de votre jambe-pendule minimise l'effort musculaire nécessaire. Et cette fréquence dépend d'un seul paramètre géométrique : la longueur de la jambe.

Le nombre de Froude

Dans les années 1980, le biomécanicien R. McNeill Alexander a formalisé cette idée en développant le concept de similarité dynamique pour la locomotion : des animaux de tailles différentes se déplacent de manière similaire lorsqu'ils partagent le même nombre de Froude.

Le nombre de Froude est un paramètre sans unité qui relie la vitesse d'un mouvement, la gravité terrestre et la longueur de la jambe, selon la relation :

$$Fr=\frac{v^2}{127L}$$

où :

• $v$ = vitesse en km/h
• $L$ = longueur de jambe en mètres (de la hanche au sol)
• $127$ = constante qui intègre la gravité terrestre (voir note en fin de texte)

(Cette formule a été adaptée de l’originale pour pouvoir utiliser une vitesse en km/h)

Que signifie ce nombre ?

Les humains, comme la plupart des mammifères, marchent typiquement à un nombre de Froude qui s'approche de 0,25 (noté Fr ≈ 0,25) lorsqu'ils souhaitent se déplacer à une vitesse confortable, appelée vitesse préférée (preferred walking speed).

Cette vitesse préférée n'est pas, chez la plupart des humains, la même que la vitesse optimale énergétique. Les études montrent qu'elle se situe généralement entre 4,5 et 5,5 km/h — légèrement au-dessus du minimum théorique de Ralston (4,44 km/h). La raison est simple : dans la vie quotidienne, nous n'optimisons presque jamais une seule variable. Nous cherchons un compromis entre l'énergie dépensée, le temps de déplacement et le confort perçu. Cette vitesse préférée reflète un arbitrage inconscient entre ces facteurs, et pas uniquement la minimisation de l'énergie.

Si vous souhaitez connaître votre vitesse de marche préférée, mesurez d’abord votre longueur de jambe en mètres (de la hanche au sol) et inscrivez-la dans la formule

$$v=\sqrt{127\cdot L\cdot \mathrm{0,25}}=\mathrm{5,6}\sqrt{L}$$

Une personne dont la jambe mesure 0,85 m aura une vitesse préférée de 5,2 km/h alors qu’une autre dont la jambe mesure 0,95 m tendra à marcher à 5,5 km/h. Vous aviez certainement déjà observé ce phénomène : une grande personne marche plus rapidement qu'une personne de plus petite taille.

Ce qui est fascinant, c’est que, de la même façon, la transition de la marche vers la course est observée lorsque le nombre de Froude avoisine 0,5.

Pour déterminer cette vitesse en l’adaptant à votre morphologie, vous pouvez utiliser la formule suivante :

$$v=\sqrt{127\cdot L\cdot \mathrm{0,5}}=8\sqrt{L}$$

Pour des longueurs de jambe typiques (0,7 à 0,9 m), la transition se situe entre 6,7 et 7,6 km/h.

Quatre vitesses, quatre logiques

Récapitulons les différents repères de vitesse qui structurent la marche humaine à l’aide du tableau de la page suivante. Notez bien la cohabitation des deux modèles : Ralston donne une valeur unique (4,44 km/h) parce qu'il ignore la morphologie ; Froude, lui, fait varier la vitesse préférée selon la taille. Ce n'est pas une contradiction, mais un changement de niveau d'analyse. Ralston répond à la question « quelle vitesse minimise l'énergie pour une personne type ? » ; Froude répond à « quelle vitesse correspond à la résonance naturelle de mon propre corps ? ».

L'universalité stupéfiante

L'idée derrière le nombre de Froude fonctionne pour tous les animaux terrestres qui marchent : tous les mammifères, du mulot à la girafe, changent de la marche au trot approximativement autour du même nombre de Froude, soit 0,5 (à quelques variations près selon les espèces), et du trot au galop autour de 2,5. C'est comme si la physique imposait les mêmes règles du jeu à tous, quelle que soit leur taille.

Une fenêtre sur les dinosaures

Cette même loi permet aux paléontologues d'estimer la vitesse de marche des dinosaures à partir de leurs empreintes fossilisées ! En mesurant l'espacement des pas et en estimant la longueur de jambe, on peut calculer le nombre de Froude et reconstituer leur allure.

Un Tyrannosaurus rex avec des jambes d'environ 3 mètres aurait probablement eu une vitesse de marche confortable entre 7 et 12 km/h (Fr ≈ 0,25), ce qui est comparable à un éléphant moderne.

C’est l’une des rares situations où des mathématiques du collégial permettent de faire parler les fossiles !

Conclusion : les mathématiques du quotidien

La marche est l’activité humaine la plus ordinaire. Pourtant, sous cette apparente simplicité se cachent des compromis d’optimisation, des seuils de transition, des lois d’échelle qui relient votre pas à celui d’un dinosaure.

Sans y penser, vous ajustez votre vitesse, votre cadence, votre amplitude. Vous minimisez une dépense d’énergie, vous évitez des instabilités, vous choisissez — à chaque instant — une solution « optimale » parmi une infinité de possibles. Autrement dit, vous faites des mathématiques.

Les 10 000 pas ne sont peut-être qu’un chiffre arbitraire. Mais ils ont ceci d’intéressant : ils donnent un cadre pour observer, en mouvement, cette intelligence silencieuse du corps. Une intelligence qui n’écrit rien, ne démontre rien, mais qui calcule juste — et qui rappelle que les mathématiques ne vivent pas d’abord dans les livres, mais dans le monde qui nous porte.