Bientôt les flocons !

Saviez-vous que l'on peut créer des flocons… mathématiques ?

L'un d'eux, en particulier, s'appelle le flocon de Koch et fait partie de la grande famille des fractales, ces présentations visuelles intrigantes dont la structure se répète indéfiniment, même lorsque nous les observons dans l'infiniment petit.

Alors, ce flocon mathématique… comment le crée-t-on ?

Partons d'un triangle équilatéral dont les côtés mesurent 1 cm de longueur.

C'est l'itération 1.

Effaçons le tiers central de chacun des côtés et remplaçons celui-ci par deux segments de 1/3 cm de longueur afin de former de nouveaux triangles équilatéraux (dont la base sera toutefois absente).

C'est l'itération 2.

Répétons ce processus une troisième fois avec chacun des traits qui composent le flocon.

Et encore… et encore…

L'image ci-dessus présente les itérations 3, 4 et 5. On voit bien que cela prend de plus en plus l’apparence d’un joli flocon.

Le défi est le suivant :

Le périmètre du premier flocon est évidemment de 3 cm. Toutefois, à chaque nouvelle itération, le périmètre du flocon s’en trouve modifié et augmente.

Quel sera le périmètre lors de la 10^e itération ?

Solution du défi

Pour résoudre ce défi, il est nécessaire de calculer les périmètres de quelques itérations.

Nous avons déjà que le flocon 1 a un périmètre de 3 cm. Ainsi, $P_1=3$.

Pour le second flocon, nous avons ajouté 6 segments de 1/3 cm, mais avons également retranché 3 tiers centraux. Au final, le périmètre a augmenté d’un cm. Ainsi, $P_2=4$.

Pour le troisième flocon, 24 segments de 1/9 cm ont été ajoutés, mais 12 tiers centraux ont été retirés. Le périmètre a donc augmenté de 4/3 cm. Ainsi, $P_3=\frac{16}{3}$.

Créons la suite $\{P_1,P_2,P_3,\dots \}$ des périmètres des flocons : $\{3,4,\frac{16}{3},\dots \}$.

Il s’agit d’une suite où chaque terme est égal au précédent multiplié par un facteur de 4/3.

De manière générale, $P_i=3{\left(\frac{4}{3}\right)}^{i-1}$.

Ainsi, le périmètre du 10^e flocon sera donné par $P_{10}=3{\left(\frac{4}{3}\right)}^{10-1}$, ce qui nous donne environ 39,95 cm.