J’aime les expériences qui bousculent notre intuition, car il nous arrive souvent d’avoir des certitudes qui mériteraient d’être remises en question. En voici une qui devrait vous intriguer.
Voici deux séquences de nombres :
L’une d’elles a été générée de manière entièrement aléatoire. L’autre, je l’ai conçue moi-même.
Alors, selon vous, laquelle est vraiment issue du hasard ?
Il y a fort à parier que vous choisirez la seconde.
Mais qu’est-ce qui nous fait si naturellement pencher pour la seconde série ? Probablement que la réponse est liée au fait que cette dernière semble mieux répartie, plus équilibrée. La première série, avec ses nombreux 1 répétitifs, brise l’harmonie que notre cerveau associe à une distribution aléatoire.
D'ailleurs, d'un point de vue visuel, voici ces deux séries de données.
Survolez ou touchez un chiffre pour le repérer dans les séries et les graphiques.
Les mathématiques de la circulaire
Faisons maintenant une autre expérience, cette fois-ci bien concrète. Je l’ai testée moi-même et je vous invite à l’essayer aussi, si vous êtes curieux.
Prenez une circulaire d’épicerie ou d’un magasin quelconque et notez le premier chiffre significatif des prix affichés.
Répétez l’opération pour toute la circulaire, et non pas seulement une page, afin d’obtenir un échantillon plus grand et donc plus fiable.
Nous serions en droit de nous attendre à une répartition relativement uniforme des chiffres recueillis. C’est, du moins, l’intuition initiale de bien des gens.
Voici la distribution que j’ai obtenue en analysant 486 articles d’une circulaire de pharmacie locale :
| Chiffre | Fréquence | |
|---|---|---|
| Total | 486 |
Quelle surprise ! La fréquence des chiffres décroît presque parfaitement. Erreur ? Coïncidence ? Spécificité des circulaires ? Rien de tout ça !
Des études similaires ont été menées sur des données totalement différentes : tailles de la population de différents pays, longueurs des fleuves, diamètres des planètes, constantes mathématiques... À chaque fois, le même constat : le 1 est le chiffre le plus fréquent, suivi du 2, puis du 3, et ainsi de suite jusqu’au 9, qui est le moins courant.
Ce phénomène a été découvert en 1938 par l’ingénieur et physicien américain Frank Benford, bien que Simon Newcomb l’ait déjà remarqué en 1881 en étudiant des tables de logarithmes.
Benford a publié un article intitulé The Law of Anomalous Numbers, où il analysait plus de 20 000 nombres issus de domaines variés. Ces nombres, allant des masses atomiques au prix de différentes actions, semblaient tous obéir à une même loi.
En effet, peu importe l’origine des nombres, la même tendance revenait : 30 % des nombres commençaient par 1, 17 % par 2, 12 % par 3, …jusqu’à 5 % pour le 9. Il arriva même à déduire une règle mathématique permettant de calculer le pourcentage théorique de chaque chiffre.
Cette règle, par ailleurs élégante de simplicité, stipule que le pourcentage théorique de chaque chiffre se trouve par la formule Par exemple, le pourcentage théorique lié au nombre 5 est , ce qui donne 7,9 %.
Comparons d’ailleurs notre petite expérience maison (à gauche) avec la loi de Benford théorique (à droite) :
de l’expérience
selon Benford
Bien que les fréquences ne soient pas exactement les mêmes, la ressemblance en ce qui concerne le comportement de cette distribution est frappante. Il serait utopique de penser que les prix figurant dans la circulaire avaient été volontairement placés de manière à respecter la loi de Benford. Le fait de retrouver malgré tout son application confirme que sa présence est naturelle et non imposée.
