Les classements sportifs

Un classement sportif reflète-t-il ce qui s’est passé… ou ce qui va arriver ? Et s’il pouvait faire les deux ?

De nos jours, les mathématiques jouent un rôle crucial dans l’analyse sportive. Cet univers est depuis longtemps un terrain fertile pour une branche bien connue des mathématiques : les statistiques. Qu’il s’agisse de la moyenne au bâton au baseball, du pourcentage d’arrêts d’un gardien de hockey ou encore du salaire médian d’une équipe, les discussions sportives s’appuient souvent sur des indicateurs statistiques, et ce, aussi bien chez les amateurs que chez les experts.

Les statistiques permettent, en effet, d’évaluer la performance d’un joueur ou d’une équipe grâce à une multitude de paramètres, un peu comme un tableau de bord affichant divers indicateurs. Un analyste expérimenté sait interpréter ces données pour prédire l’évolution d’une saison.

Mais depuis quelques décennies, d’autres branches des mathématiques ont rejoint les statistiques pour affiner encore davantage l’évaluation des performances. L’algèbre linéaire, par exemple, a donné naissance à des méthodes permettant de classer les équipes sportives en fonction des résultats partiels d’une saison. Avant de poursuivre, définissons ce qu'est l'algèbre linéaire de manière simple : imaginons que l'on puisse créer n’importe quelle couleur en mélangeant du rouge, du bleu et du jaune dans les bonnes proportions. L’algèbre linéaire est alors l'art du mélange mathématique, où l'on combine des 'couleurs de base' (des variables, par exemple) pour obtenir des résultats complexes. Ces différentes combinaisons portent le nom de systèmes d'équations. Elles représentent, prises individuellement, des 'recettes' permettant d'obtenir une couleur donnée.

Basée sur cet art du mélange, la méthode de Massey, développée en 1997 par Kenneth Massey, est l’une des plus populaires dans le monde de l'analyse sportive et statistique. Elle fut notamment utilisée dans le système de classement du Bowl Championship Series (BCS), qui détermine les meilleures équipes de football américain universitaire aux États-Unis.

Son principe repose sur l’analyse du différentiel de points entre les équipes, ce qui la rend applicable à une grande variété de sports. Cependant, contrairement à une simple lecture du différentiel de points, la méthode Massey tient compte de la force des adversaires affrontés, puisqu'au-delà du décompte des victoires, il importe de mesurer la difficulté qu'a pu présenter l'obtention de telles victoires. Imaginons à cet effet deux grimpeurs en montagne. Si l’un atteint le sommet en passant par une pente douce et l’autre par une paroi glacée, lequel a véritablement fourni l’effort le plus impressionnant ? Massey essaie justement de prendre en compte ce genre de différence et de donner, en bout de ligne, une liste ordonnée des équipes selon leur force globale, de la même manière que l'on pourrait classer les performances de nos deux grimpeurs selon les pentes empruntées.

Pour mieux comprendre le fonctionnement de la méthode de Massey, appliquons-la à un exemple concret.

Un exemple pratique : tournoi de hockey à 5 équipes

Imaginons un championnat de hockey où 5 équipes nationales disputent des matchs contre des adversaires sélectionnés aléatoirement. Les équipes ne jouent pas nécessairement le même nombre de matchs et chaque pays ne rencontrera pas nécessairement tous les autres.

Les équipes en lice :

Résultats des matchs :

• Match 1 : CAN 5 - 1 SWE
• Match 2 : USA 3 - 2 FIN
• Match 3 : CZE 4 - 3 USA
• Match 4 : CAN 2 - 1 FIN
• Match 5 : SWE 6 - 0 CZE
• Match 6 : CAN 2 - 6 CZE
• Match 7 : USA 1 - 0 SWE

Classement basé uniquement sur le différentiel de points

Une méthode toute simple consiste à calculer le différentiel des points de chaque équipe. Si nous additionnons les écarts de points obtenus pour chaque pays, nous obtenons le classement suivant, de l’équipe ayant le meilleur différentiel à celle avec le moins bon :

À première vue, il semble difficile de départager le Canada, la Suède et les États-Unis car ces trois pays ont le même différentiel (+1). Cette analyse, certes simple, n'est donc pas suffisamment forte car un différentiel peut masquer des performances inégales. Il ne nous donne que la somme de ces performances, sans s'attarder aux rencontres spécifiques. De fait, il est impossible de savoir si une équipe a perdu ou gagné un certain match en observant uniquement le différentiel total de cette équipe.

Application de la méthode Massey

Cette méthode consiste à bâtir un système d'équations (les recettes de couleurs évoquées précédemment) faisant intervenir la force (ou le rang) de chaque équipe. Dans un premier temps, nous construisons un tableau où :

• La diagonale indique le nombre de matchs joués par une équipe.
• Les autres cases indiquent combien de fois chaque paire d'équipes s'est affrontée, en négatif.

Par exemple, on observe que le Canada a disputé trois matchs, ce qui explique la valeur 3 à l’intersection CAN/CAN sur la diagonale. De même, il n’a affronté la Suède qu’une seule fois, d’où la présence de –1 aux intersections CAN/SWE et SWE/CAN. Une particularité intéressante de ce tableau est que chaque ligne et chaque colonne totalisent zéro, une propriété fondamentale de sa construction.

Sans entrer dans les détails techniques (voir l'encadré pour les plus curieux), ce tableau nous permet de formuler un système d’équations dont la résolution fournit une estimation de la force relative de chaque équipe. Pour poursuivre l'analogie des mélanges de couleurs, la résolution d'un tel système permet de connaître avec précision le dosage exact de chaque couleur permettant l'obtention de la teinte finale.

Classement selon la méthode de Massey

Notons $R_{\mathrm{pays}}$ le rang (ou la force) d'une équipe. Après résolution du système, voici les cotes de Massey obtenues :

Classement selon Massey :

1. 1.🇸🇪 Suède ($R_S$ = 0,45)
2. 2.🇨🇦 Canada ($R_C$ = 0,2) et 🇺🇸 États-Unis ($R_U$ = 0,2)
3. 4.🇨🇿 République tchèque ($R_T$ = –0,05)
4. 5.🇫🇮 Finlande ($R_F$ = –0,8)

Que s'est-il passé avec la méthode Massey ? On remarque une différence importante avec le classement uniquement basé sur le différentiel : la Suède passe devant le Canada et les États-Unis.

La méthode de Massey classe la Suède devant le Canada et les États-Unis parce qu’elle ne se limite pas au nombre de victoires, mais tient compte de la force des adversaires et des écarts de points. La Suède, malgré deux défaites, a perdu de justesse contre les États-Unis (0-1) et a largement dominé la République tchèque (6-0). Le Canada et les États-Unis, eux, ont chacun subi une défaite plus lourde contre la République tchèque (2-6 pour le Canada, 3-4 pour les États-Unis) et leurs victoires ont été moins convaincantes.

Massey « récompense » donc les performances solides contre des adversaires jugés forts plutôt que de simplement compter le nombre de victoires, ce qui explique la première place de la Suède.

Cette approche illustre bien la logique de la méthode : une défaite honorable contre une équipe forte peut avoir plus de valeur qu’une victoire contre une équipe faible, surtout si celle-ci est acquise par un faible écart.

Autrement dit, Massey cherche à mesurer la véritable force intrinsèque des équipes et non seulement leur bilan comptable. Dans des tournois où les adversaires ne sont pas tous affrontés de manière équitable, cette façon de pondérer les résultats permet d’obtenir un classement plus juste et plus représentatif du niveau réel des participants.

Que prédirait Massey sur un nouvel affrontement Canada-Finlande ?

Avec une cote de 0,2 pour le Canada et de –0,8 pour la Finlande, la différence entre ces deux scores est de 1, suggérant qu’une confrontation entre ces deux équipes aurait une forte probabilité de se solder par une victoire du Canada avec un écart proche d’un seul but (par exemple, il pourrait s’agir d’une victoire du Canada de 1 à 0, de 2 à 1, de 3 à 2, etc.)

Cette interprétation offre un outil puissant pour anticiper les résultats, au-delà d’un simple classement statique. Évidemment, il ne s'agit que d'un modèle de projection. Considérées individuellement, les estimations produites ne se réaliseront pas toujours avec exactitude, mais dans l’ensemble, le modèle devrait parvenir à fournir une image fiable des résultats. Comme tout modèle, il repose sur des données partielles et ne pourra jamais tenir compte de l’imprévisible (blessures, coups de chance, motivation d’une équipe…).

Conclusion

Ce tournoi fictif illustre parfaitement pourquoi la méthode de Massey dépasse une simple analyse du différentiel de points. En prenant en compte la force des adversaires affrontés, elle permet de corriger les classements biaisés par des victoires trop écrasantes contre des équipes faibles. Dans les compétitions où toutes les équipes ne s'affrontent pas de manière équitable, elle devient un outil précieux pour obtenir une hiérarchie plus juste et objective.

Au-delà du hockey, cette approche est utilisée dans de nombreux autres sports. Si vous avez envie de l’explorer par vous-même, je vous recommande de le faire à partir des résultats d’une saison de la Ligue canadienne de football (LCF). En effet, cette ligue est idéale pour s’initier : elle ne compte que 9 équipes et propose 4 matchs par semaine, ce qui en fait un bon terrain d’expérimentation. Pour ma part, j’ai tenté l’expérience avec la saison 2024, et les résultats étaient frappants : à une inversion près, le classement prédit à la mi-saison correspondait exactement au classement final. Une belle démonstration de la puissance du modèle de Massey.

Certains statisticiens jugent que la méthode Massey simplifie trop la réalité ; c’est un reproche valable, mais elle a le mérite de fournir un cadre clair et reproductible. De plus, des méthodes alternatives existent (Elo, Colley) et raffinent certains paramètres. Le célèbre site MoneyPuck.com utilise une variété de modèles et exploite des paramètres très spécifiques au hockey afin de prédire l'issue des matchs de la Ligue nationale de hockey.

Alors, la prochaine fois que vous verrez un classement sportif, posez-vous la question suivante : ce classement est-il suffisant pour prédire la suite de la saison ou gagnerait-il à passer sous la loupe des mathématiques sportives ?