Lorsque
l’unité divise

Les Égyptiens avaient une manière très particulière de représenter les fractions : ils s’imposaient que le numérateur – c’est-à-dire le nombre placé au-dessus de la barre de fraction – soit toujours égal à 1. Ce type de fraction est ce que nous appelons aujourd’hui une fraction unitaire.

Ainsi, au lieu d’écrire une fraction comme 2/5, ils la transformaient en une somme de fractions unitaires, comme 1/3 + 1/15, ce qui donne exactement le même résultat. Pour y parvenir, ils suivaient une méthode simple, mais parfois un peu longue : ils cherchaient d’abord la plus grande fraction unitaire inférieure à celle qu’ils voulaient représenter.

Prenons l’exemple de 2/5. En notation décimale, cela vaut 0,4. Or, 1/2 vaut 0,5 (trop grand). Mais 1/3 vaut environ 0,333…, ce qui convient. Les Égyptiens commençaient donc par écrire : 2/5 = 1/3 + …

Ensuite, ils soustrayaient 1/3 à 2/5. La différence est 0,0666…, soit exactement 1/15. Ils écrivaient alors : 2/5 = 1/3 + 1/15.

Si le résultat de la soustraction n’avait pas été une fraction unitaire, ils auraient recommencé le processus avec la différence obtenue, jusqu’à parvenir à une somme complète.

De nos jours, cette méthode peut sembler peu pratique, notamment lorsqu’on souhaite manipuler les fractions. Par exemple, notre méthode moderne nous dit que doubler 2/5 donne immédiatement 4/5. Mais si l’on double la somme 1/3 + 1/15, on obtient 2/3 + 2/15, ce qui représente deux fractions non unitaires et impose de recommencer les calculs. D’ailleurs, 4/5 vaut 1/2 + 1/4 + 1/20. Autrement dit, chaque nouvelle opération demande une nouvelle décomposition, ce qui implique beaucoup de temps à dédier aux calculs.

Mais alors, pourquoi cette méthode était-elle en usage ? Était-ce une pure coquetterie mathématique ? Pas du tout. Cette façon de faire prend tout son sens dans des situations de partage équitable, comme c’était souvent le cas dans l’Égypte antique.

Imaginons la scène : six personnes doivent se répartir cinq pains. Comment faire ? Donner un pain presque entier à cinq personnes et rassembler les miettes pour la sixième ? Pas très équitable.

Avec l’approche égyptienne, on cherche la plus grande fraction unitaire contenue dans 5/6. C’est 1/2. On coupe donc trois pains en deux et chaque personne reçoit un demi-pain. Il reste alors deux pains entiers, que l’on coupe cette fois en tiers. Chaque personne reçoit donc un tiers de pain supplémentaire.

Résultat : chaque convive reçoit 1/2 + 1/3 = 5/6 de pain. Une répartition juste, élégante… et profondément mathématique.

Conclusion

Ce détour par les mathématiques égyptiennes nous montre que la manière de représenter les nombres dépend aussi des besoins pratiques d’une époque.

D’autres civilisations ont développé des approches radicalement différentes : en Chine ou en Inde, par exemple, on privilégiait d’autres systèmes de notation des fractions.

Dans un monde sans notation décimale ni calculatrices, où les partages de terres, de biens ou de rations étaient monnaie courante, penser en fractions unitaires offrait une solution claire, compréhensible, et applicable dans la vie quotidienne.

Et si les mathématiques n’étaient pas seulement une science… mais le reflet d'échanges sociaux propres à un groupe d'individus ?