Espoirs
numériques

À chaque nouvelle édition de cette revue, une même question me trotte dans la tête quand vient le moment d’écrire le texte principal : comment parler d’un sujet du quotidien sans tomber dans un cours de maths pur et dur qui ferait fuir même les plus braves ?

Parfois, certains concepts nécessitent quand même un petit détour par une formule ou deux, histoire de vraiment comprendre de quoi il retourne. Mais le thème d’aujourd’hui ne joue pas dans cette cour-là. Il est d’une simplicité désarmante, et surtout, on l’utilise tout le temps — souvent sans même s’en rendre compte. Ce concept, aussi discret qu’astucieux, s’appelle l’espérance mathématique. Et il est aussi proche de la moyenne que Tintin l’est de Milou.

L’espérance, avant d’être une formule, c’est un réflexe humain. C’est ce que notre cerveau fait automatiquement dès qu’un choix implique un soupçon d’incertitude. Un peu comme un calculateur invisible qui tourne en arrière-plan.

Prenons un exemple. Vous êtes en voiture. Vous avez deux options pour vous rendre à destination. L’autoroute, rapide mais souvent congestionnée, ou la route de campagne, plus tranquille mais plus lente. Instinctivement, vous faites le calcul : « Est-ce que je tente ma chance avec les bouchons ou je mise sur la constance bucolique ? » Félicitations : vous venez d’utiliser l’espérance sans le savoir.

Même chose pour l’étudiant qui se demande s’il doit étudier un chapitre « juste au cas où ». L'effort en vaut-il la chandelle ? Il évalue mentalement le coût de l’étude contre le potentiel de tomber pile sur un test surprise. Encore une fois, l’espérance est à l’œuvre.

Les jeux de hasard :
quand le hasard a bon dos

Les jeux de hasard sont parfaits pour illustrer le concept. Ils permettent de bien faire la différence entre ce qui peut arriver une fois… et ce qui arrivera en moyenne sur le long terme.

Inventons un petit jeu : Vous lancez un dé.

• Si vous obtenez 1, 2, 3 ou 4, vous gagnez 4 $.
• Si vous tombez sur 5 ou 6, vous perdez 10 $.

Alors ? Bonne affaire ou arnaque subtile ?
Faisons les comptes :

• Gagner 4 $ a une chance sur six de se produire quatre fois, ce qui équivaut à une probabilité de 4/6.
• Perdre 10 $ a seulement une probabilité de 2/6 de survenir.

Ainsi, dans notre exemple, l'espérance (du joueur) se calcule ainsi :

Espérance = 4 $ × (4/6) + (–10 $) × (2/6) = –0,67 $

Autrement dit, chaque fois que vous jouez, vous perdez en moyenne 67 cents. Ce n’est pas visible à l’œil nu : vous ne verrez jamais un ticket vous faire perdre « seulement » 67 cents. Mais si vous jouez 1 000 fois… le trou dans votre portefeuille, lui, sera bien réel et avoisinera les 670 $.

Vous pourriez tout à fait gagner trois fois d'affilée et penser que le jeu vous est favorable. Mais sur le long terme, ce jeu vous grignote discrètement, coup après coup.

Voyez d'ailleurs de manière visuelle le comportement des gains après une simulation informatique de 200 parties de ce même jeu :

On remarque l’alternance des parties avec gains et avec pertes. Après 200 essais, la perte moyenne s’élève, dans cette simulation, à 69 cents par lancer pour une perte totale d’environ 140 $.

Comprendre l'espérance est à la base du modèle économique des casinos, loteries et autres jeux brillants aux couleurs vives : tous sont conçus avec une espérance négative pour vous. Si ce n’était pas le cas, les machines à sous seraient rangées depuis longtemps, et les casinos auraient été remplacés par des salons de tricot. Pas surprenant qu’au casino on vous offre boissons et petites collations : plus longtemps vous y restez, plus celui-ci empoche.

Alors oui, vous pouvez jouer. Mais si, par miracle, vous gagnez… fuyez ! Tout. De. Suite. L’erreur la plus fréquente est de croire que la malchance accumulée finira par « se retourner ». Malheureusement, ce n'est pas ainsi que les choses fonctionnent. Les probabilités ne se sentent pas coupables.

Les assurances :
le même principe en veston-cravate

Passons à un domaine plus sérieux : les assurances. Soulevé par un élan de naïveté, on pourrait croire qu’elles sont basées sur des valeurs nobles, comme la solidarité ou la protection du prochain. Mais sous le capot, c’est l’espérance qui fait tourner le moteur. Comment diable un assureur arrive-t-il à payer de très gros montants sans préavis tout en restant rentable ?

Prenons un exemple concret. Une personne de 50 ans souscrit une assurance-vie de 100 000 $. L’assureur, lui, estime que la probabilité qu’elle décède dans l’année est de 2 %. Il se dit donc : « Hmm… j’ai là un risque de perte qu’il me faut compenser. »

Il facturera alors à cette personne 175 $ par mois, soit 2 100 $ par an (ou tout autre montant supérieur à 2 000 $). De cette manière, l'espérance mathématique (de l'assureur) liée à cette situation est maintenant :

–100 000 $ × 2 % + 2 100 $ × 98 % = 58 $.

Résultat : sur ce contrat, l’assureur gagne 58 $ en moyenne, tout en gardant une image de protecteur bienveillant. Et s’il applique ce raisonnement à des milliers de contrats, les petits gains moyens deviennent rapidement de très gros profits.

De cette manière, chaque nouveau contrat signé, même s'il vient avec le risque bien réel d'un important débours, apporte à l'assureur un profit répété au fil des ans (alors que vous, vous ne mourrez qu'une seule fois !). Et n'oublions pas que plusieurs conditions feront augmenter le coût des assurances : votre âge, votre santé, votre emploi, etc. C’est d’ailleurs exactement pour cette raison que les jeunes hommes de 25 ans et moins qui conduisent une Honda Civic rouge modifiée paient bien plus cher que leur jeune sœur de 19 ans qui utilise la Toyota Camry beige familiale.

Les garanties prolongées :
quand on vous vend la paix d’esprit... à prix rentable

Situation familière : vous achetez un grille-pain. Le caissier vous fixe droit dans les yeux et vous propose solennellement une garantie prolongée à 8 $ qui couvre tout, même les caprices du destin. Vous hésitez. 8 $, ce n’est pas cher… et puis, on ne sait jamais, non ? Justement. On ne sait jamais — et c’est exactement ce qui fait fonctionner ce mécanisme.

Disons que le grille-pain vaut 100 $ et que la probabilité qu’il vous lâche est de 3 %. Pour le marchand, il s’agit d’un risque de perdre 100 $ s’il doit vous remplacer l’appareil. Comment le maigre 8 $ demandé pourra suffire ? Calculons !

Les garanties prolongées sont souvent critiquées… mais si elles existent encore, c’est parce qu’elles sont redoutablement rentables. Et que nous, consommateurs, continuons à les acheter.

Les abonnements :
là où l’enthousiasme se fait piéger par la réalité

Prenons un forfait de ski à 600 $. Sur le papier, il est rentabilisé après 10 sorties. En octobre, au moment de l'achat, vous vous voyez déjà, skis aux pieds, dévalant chaque fin de semaine les pentes poudreuses comme si demain n'existait pas.

Puis vient janvier. Vous êtes enrhumé, les études reprennent, vos parents insistent pour que vous soyez présents pour les 50 ans de votre tante Nicole et soudain… vous ne faites que six sorties.

Ce genre de scénario n’a rien d’exceptionnel. Il est même prévu dans le calcul du gestionnaire de la station. Si seulement 20 % des abonnés rentabilisent leur forfait, il suffit que les 80 % restants ne le fassent pas pour que l’espérance soit favorable à la station.

Même logique pour les salles de sport. On capitalise sur votre enthousiasme de début janvier… et sur l’absence de ce dernier dès février, mois au-delà duquel seuls quelques motivés de la fonte seront présents de manière régulière tout le reste de l'année.

L’espérance est partout, même dans les avions

L’espérance mathématique est un ninja du quotidien. Discrète, efficace, toujours là où on ne l’attend pas.

Prenez les compagnies aériennes. Elles pratiquent le surbooking (surréservation), c’est-à-dire vendre plus de billets que de sièges disponibles. Ce n’est pas de l’optimisme aveugle, c’est un calcul d’espérance. Une petite minorité de passagers rate son vol ? Tant mieux. L’avion part plein. Et si, exceptionnellement, il y a trop de monde… on compense un ou deux voyageurs. Le risque est maîtrisé, et les gains, eux, bien réels.

Bref, ouvrez l’œil. L’espérance se cache dans vos décisions, vos contrats, vos achats. L’identifier, c’est déjà gagner en lucidité.

Et qui sait ? Peut-être qu’avec un peu d’entraînement, vous deviendrez un expert de l’espérance mathématique. Ce qui, en moyenne, est une très bonne idée.