À la racine
du calcul

Dans ce système, deux symboles sont utilisés principalement pour écrire les nombres : un clou, qui représente l’unité, et un chevron, qui vaut dix. À partir de ces signes simples, les scribes mésopotamiens pouvaient déjà effectuer des calculs étonnamment sophistiqués.

Les Babyloniens, civilisation majeure de la Mésopotamie, ne comptaient pas en base dix comme nous, mais en base soixante, un système appelé sexagésimal. Ce choix, qui peut paraître exotique aujourd’hui, expliquera notamment l’origine de nos 60 minutes par heure et de nos 360 degrés dans un cercle. Ce système fascinant fera l’objet d’un prochain article.

Pour l’instant, intéressons-nous à une méthode de calcul remarquable, utilisée il y a plus de 4000 ans, qui permettait de déterminer la valeur d’une racine carrée.

Afin d’en faciliter la compréhension, la méthode sera présentée ici à l’aide de notre système décimal moderne et de nos notations actuelles. Il est important de préciser qu’il s’agit d’une reconstruction : les mathématiciens babyloniens n’écrivaient pas leurs calculs de cette façon. Les tablettes retrouvées montrent toutefois sans ambiguïté qu’ils maîtrisaient des procédés équivalents, fondés sur des approximations successives d’une grande efficacité.

La méthode repose sur un principe itératif, c’est-à-dire sur la répétition d’une même procédure. À chaque cycle, l’estimation obtenue se rapproche de la valeur recherchée. Il revient à l’utilisateur de décider à quel moment l’approximation est suffisante pour l’usage envisagé — une idée étonnamment moderne.

Imaginons que l’on souhaite calculer la racine carrée de 10. Il faut d’abord une estimation de départ. Comme la racine carrée de 9 est 3, il s’agit d’un point de départ tout à fait raisonnable. Notons cette première estimation $e_1=3$.

Le processus recommence alors (les itérations débutent) :

Et ainsi de suite, jusqu’à atteindre la précision désirée.

Dès la deuxième itération complétée, on obtient déjà une valeur extrêmement proche de la véritable racine carrée de 10, qui vaut environ 3,16227766…

Bien sûr, plus l’estimation initiale est proche de la valeur réelle, plus la convergence est rapide. Mais même avec un point de départ relativement éloigné (par exemple $e_1=2$) la méthode demeure efficace et conduit rapidement à une approximation très satisfaisante.

Cette procédure est aujourd’hui connue sous le nom de méthode babylonienne. Elle fut redécouverte et formalisée bien plus tard par Héron d’Alexandrie, au I^er siècle, ce qui explique qu’on la retrouve aussi sous l’appellation de méthode de Héron. Elle témoigne de l’ingéniosité des mathématiciens de l’Antiquité, capables de concevoir des techniques puissantes et élégantes sans algèbre symbolique, sans notation moderne et sans calculatrice.

La méthode babylonienne nous rappelle surtout ceci : en mathématiques, l’exactitude n’est pas toujours un point de départ, mais très souvent un horizon. Bien avant l’ère numérique, on savait déjà que comprendre, c’était souvent savoir s’approcher — patiemment, méthodiquement — d’une vérité qui ne se laisse pas toujours atteindre d’un seul coup.

Si vous souhaitez vous exercer, tentez de trouver la racine carrée de 75 en utilisant 8 comme estimation initiale. Vous constaterez rapidement que, malgré son grand âge, la méthode n’a rien perdu de son efficacité.

Et aujourd’hui ?

La méthode babylonienne n’est pas qu’une curiosité historique. Elle appartient à une vaste famille de techniques encore au cœur du calcul moderne : les méthodes numériques.

Chaque fois qu’un ordinateur calcule une racine carrée, résout une équation complexe ou simule un phénomène physique, il ne trouve pas une valeur « exacte » au sens mathématique. Il produit une approximation contrôlée, obtenue par itérations successives, jusqu’à ce que l’erreur devienne négligeable pour l’usage prévu.

Les ingénieurs, les physiciens et les informaticiens travaillent quotidiennement avec ce type de compromis. La question n’est pas « Est-ce exact ? », mais plutôt « Est-ce suffisamment précis ? » — exactement la même question que se posaient déjà les scribes babyloniens, il y a plusieurs millénaires.

À bien y penser, la modernité de ces méthodes tient peut-être moins à la puissance des machines qu’à une idée très ancienne : savoir quand s’arrêter est parfois aussi important que savoir calculer.