Les maths à la barreQuand les probabilités condamnent des innocents

Novembre 1999, à la Chester Crown Court, en Angleterre, un pédiatre lance « 1 chance sur 73 millions ». Cette affirmation aura un impact majeur sur la vie d’une femme. Mais que voulait prouver ce pédiatre par cette affirmation ? Quels calculs l’avaient mené à offrir une probabilité en guise de preuve ? Nous y reviendrons. Trente-cinq ans plus tôt, un procureur américain avait lui aussi joué les mathémavocats et avait commis une grave erreur.

Los Angeles · 1964

Le cas Malcolm et Janet Collins

En juin 1964, à Los Angeles, une femme âgée du nom de Juanita Brooks se fait violemment pousser au sol. Son panier de courses et sa canne s’écrasent bruyamment sur le béton. La vieille dame tente de lever la tête pour observer qui a pu la faire ainsi tomber. Elle constate alors qu’une femme blonde s’éloigne à la course et que celle-ci lui a dérobé son sac à main.

Au bout de l’allée où l’incident s’est produit, un homme du nom de John Bass s’affaire sur son terrain lorsqu’il entend les cris de Brooks. Levant les yeux, il remarque une femme blonde à la queue de cheval qui s’engouffre à toute vitesse dans une voiture jaune. Bass remarque que le conducteur est un homme noir, ce qui le surprend car les couples mixtes n’étaient pas chose courante à cette époque.

Appelé en vitesse, le service de police dépêche l’officier Kinsey afin de faire la lumière sur la situation. Ne disposant que d’une victime et d’un témoin, il interroge ceux-ci afin de clarifier le portrait de la mystérieuse voleuse et de son comparse. Selon Juanita Brooks, la femme portait des vêtements foncés et avait les cheveux blonds. Bass, de son côté, confirmait le port des vêtements sombres et insista sur le fait qu’elle avait une queue de cheval. Enfin, outre la couleur jaune de la voiture, Bass se souvenait que l’homme à la peau noire qui était au volant portait la barbe et la moustache.

De tels renseignements, pour le moins généraux, ne rendaient pas la tâche facile à l’officier Kinsey. Pendant quelques jours, il chercha en vain à retrouver les coupables. Pendant ce temps, le fils de Juanita, choqué de ce qui était arrivé à sa mère, décida de mener sa propre enquête et fit le tour des stations-service du coin afin de demander si un couple mixte faisait parfois le plein dans une voiture jaune. À l’une des stations-service, il reçut une réponse favorable : Malcolm et Janet Collins possédaient une Lincoln jaune, la femme était bien blonde et l’homme avait la peau noire. Ces informations furent alors soumises à l’officier Kinsey qui, heureux de ce secours providentiel, alla rencontrer les suspects.

Les maths entrent en scène

Des soupçons suffisants ayant émergé, il fut décidé qu’un procès aurait lieu. Lors de ce procès, la défense fit valoir que les descriptions des suspects étaient vagues et qu’on ne pouvait accuser leurs clients sur des bases aussi faibles. Le procureur, un certain Ray Sinetar, était conscient de ces faiblesses et voulut présenter une preuve innovante : une preuve par les mathématiques.

Revenons maintenant au procès. Sinetar présenta un tableau dans lequel il indiqua différentes probabilités :

Devant un jury médusé, il fit la multiplication de toutes ces probabilités et obtint le résultat d’une chance sur 12 millions. Il déclara donc, dans un discours enflammé, que si la probabilité de réunir tous ces événements était à ce point faible et qu’on était parvenu à retrouver deux personnes qui satisfaisaient à tous ces critères, ceux-ci n’avaient d’autre choix que d’être coupables.

Dans un moment fort de sa plaidoirie, Sinetar affirma que si l’on cherchait un verdict hors de tout doute raisonnable, comment pourrait-on alors s’opposer à une telle probabilité ? Selon lui, ce nouveau genre de preuve allait un jour remplacer les méthodes traditionnelles et révolutionner le monde judiciaire.

Questionné sur l’origine des chiffres présentés, il expliqua qu’il s’agissait d’estimations personnelles et ajouta qu’elles étaient certainement prudentes, allant même jusqu’à suggérer qu’une analyse plus fine mènerait à une chance sur un milliard (rien de moins !).

Après plusieurs heures de délibérations, le jury déclara le couple coupable du vol. Malcolm écopa d’une peine pouvant aller d’un an à la perpétuité et Janet écopa d’une année de détention. Cette dernière décida de purger l’entièreté de sa peine afin d’en finir au plus vite avec cette situation cauchemardesque, alors que Malcolm porta sa cause en appel et sa condamnation fut annulée en 1968.

Les erreurs mathématiques

Ce dossier comporte deux erreurs mathématiques importantes.

La première est évidemment l’absence de validité des probabilités soumises. Dans le monde des probabilités, on dit souvent que ces dernières se déclinent sous trois formes : les probabilités classiques, empiriques et subjectives. Les premières se calculent théoriquement, sans même avoir besoin de faire l’action, comme dans le cas du lancer de dés ou de pièces de monnaie. Les secondes nécessitent le recours aux statistiques et sont donc basées sur des résultats passés et réels, comme dans le cas des probabilités liées au monde du sport. Les dernières, enfin, reposent uniquement sur le jugement personnel de celui qui les avance.

Les résultats présentés par le procureur Sinetar tombent assurément dans cette dernière catégorie. La prestance et le charisme d’un procureur ont pu donner un semblant de lustre à des valeurs n’ayant aucune crédibilité.

La seconde erreur est celle de l’indépendance. Les différents événements présentés dans le tableau du procureur ne sont pas tous indépendants les uns des autres. L’exemple le plus frappant est certainement le lien évident qui existe entre les hommes portant la barbe et ceux qui portent la moustache. Il est, en effet, rare qu’un homme porte la barbe sans porter la moustache.

Avec le recul, il semble même complètement absurde qu’un verdict de culpabilité ait pu être délivré avec des données aussi peu fiables.

Angleterre · 1996-2003

Le cas Sally Clark

Bien qu’en 1968, lors de l’annulation de la condamnation de Malcolm Collins, la Cour suprême de Californie ait jugé que ces chiffres n’avaient aucun fondement et que le jury avait été ébloui par les mathématiques, trente ans plus tard, en Angleterre, une femme allait de nouveau subir les foudres d’un mauvais usage des probabilités.

Sally Clark et son mari Steve étaient un couple de jeunes avocats lorsque Sally donna naissance à leur premier enfant, Christopher, en septembre 1996. Sally décida d’arrêter le travail pour quelques mois afin de prendre soin de son nouveau-né. Le bébé semblait délicat, voire fragile, mais il dormait bien et avait une humeur stable. Or, en décembre de la même année, il attrapa un mauvais rhume. Le 13 décembre, après que Sally eut quitté la chambre où elle dormait avec le bébé pour aller chercher un verre d’eau, elle remarqua que le visage de Christopher avait viré au gris. Amené d’urgence à l’hôpital, le petit ne put être sauvé et on indiqua aux parents qu’il était probablement mort d’une infection des poumons.

Les mois qui suivirent furent évidemment très difficiles et Sally eut un passage à vide où elle augmenta considérablement sa consommation d’alcool. Remontant la pente, elle donna naissance à nouveau en novembre 1997 à un autre garçon prénommé Harry. Comme il était d’usage en Angleterre pour tout enfant ayant eu un frère ou une sœur décédé en bas âge, Harry fut suivi étroitement via un programme spécial qui, notamment, enseignait aux parents les gestes de réanimation. De plus, le bébé portait en permanence une alarme devant se déclencher automatiquement en cas de difficultés respiratoires. En janvier 1998, tout juste après un rendez-vous médical de routine destiné à vacciner Harry, ses parents remarquèrent que le nourrisson avait perdu sa fougue et qu’il était de plus en plus amorphe. Le jour même, une fois revenus à la maison, les parents constatèrent le décès du bambin. Cette fois-ci, les médecins ne s’entendirent pas sur la cause exacte du décès.

Ces deux morts subites de nourrissons dans une même famille amenèrent évidemment la police à enquêter sur les parents. Cette enquête déboucha sur un procès, tenu à la Chester Crown Court.

Les maths, encore et toujours

Lors du procès, un pédiatre nommé Roy Meadow, jouissant d’une très grande réputation en Angleterre et dont les travaux tournaient principalement autour de la violence faite aux enfants, affirma que certains parents cherchent à faire volontairement du mal à leurs enfants pour ensuite bénéficier de l’attention du personnel médical. Cette pathologie, appelée le syndrome de Münchausen par procuration, pouvait expliquer, selon l’expert, que l’on retrouve plusieurs morts subites du nourrisson dans une même famille.

Appelé à commenter le cas précis de Sally Clark, Meadow affirma que :

« des études statistiques ont montré que la probabilité que la mort subite d’un nourrisson survienne dans une famille comme celle des Clark [aucun parent fumeur, au moins un parent en emploi, et mère âgée de plus de 26 ans] est d’environ une sur 8 543. »

Ainsi, il indiqua que la probabilité que deux morts subites du nourrisson se produisent était égale à $\frac{1}{\mathrm{8 543}}\times \frac{1}{\mathrm{8 543}}$. Il affirma donc qu’un tel événement se produisait une fois sur 73 millions.

Il importe ici de dire que, contrairement au cas Collins, la probabilité d’une sur 8 543 avancée par le pédiatre est issue d’une étude crédible.

L’affirmation de Meadow fut largement comprise comme voulant dire qu’il n’y avait qu’une chance sur 73 millions que Sally Clark soit innocente. Une majorité des membres du jury, malgré la nette opposition des avocats de la défense, déclarèrent la mère coupable de deux chefs de meurtre et le juge la condamna à la prison à vie. La femme fut présentée au public comme une tueuse d’enfants et sa présence au sein du milieu carcéral fut très mal accueillie par les autres prisonnières.

Qu’est-ce qui cloche ?

Le lecteur attentif aura remarqué ici aussi l’utilisation d’une multiplication entre deux probabilités. Il faut donc se demander si les décès de deux bébés sont des événements purement indépendants.

Un rapport de l’époque, commandé par le ministère de la Santé britannique, indiqua qu’il pouvait exister d’autres facteurs (familiaux, génétiques ou environnementaux) pouvant affecter la probabilité de décès d’un bambin, mais que ces facteurs n’étaient pas encore totalement connus et compris du milieu médical. Ainsi, la stricte indépendance entre deux occurrences n’était pas une chose certaine.

Dans le cas de Sally Clark, puisque rien ne garantit l’indépendance des deux décès, il aurait fallu considérer que

$$P\left(\text{décès du 2}{}^{\text{e}}\text{ bébé}\right|\text{décès du 1}{}^{\text{er}}\text{ bébé})$$

était vraisemblablement plus élevée qu’une sur 8 543. Le chiffre de 73 millions était donc erroné.

Ce ne fut toutefois pas la seule erreur commise lors de ce procès. Quel que soit le vrai chiffre qu’aurait dû avancer Meadow, il correspond à la probabilité que deux bébés meurent si leur mère est innocente. Le problème est que l’affirmation a plutôt été présentée comme la probabilité que la mère soit innocente si ses deux bébés étaient morts. Pour vous convaincre du caractère très différent résultant d’une inversion des conditions, comparez simplement $P\left(\text{Être un homme}\right|\text{Être pape})$ et $P\left(\text{Être pape}\right|\text{Être un homme})$. La première donne 1 alors que la seconde est pratiquement nulle.

Cette inversion est justement appelée le sophisme du procureur.

Pour bien juger, il aurait fallu comparer entre elles les deux explications, toutes deux très rares : deux morts subites d’un côté, deux meurtres de l’autre. C’est précisément ce qu’a fait en 2004 Ray Hill, professeur de mathématiques à l’Université de Salford. Selon ses estimations, une double mort subite du nourrisson était de 4,5 à 9 fois plus probable qu’un double meurtre. Autrement dit, avant même d’examiner les autres preuves, les deux décès plaidaient davantage en faveur de l’innocence de Sally Clark que de sa culpabilité.

Son premier appel ayant été rejeté, Sally Clark vit tout de même ses condamnations annulées en 2003 en raison de preuves médicales non divulguées par l’accusation. Ces preuves permirent de mieux expliquer la mort d’Harry et de rendre la condamnation de sa mère difficilement soutenable.

En conclusion

Cette incursion dans le monde judiciaire permet de voir à quel point l’utilisation des probabilités et des statistiques doit se faire par des personnes qui connaissent bien le sujet et qui savent l’expliquer.

Dans la vie quotidienne comme à la cour, lorsqu’un chiffre nous est soumis, une analyse s’impose : d’où vient-il ? Les faits observés sont-ils indépendants ? À quelle question précise ce chiffre répond-il ?

Il importe de garder l’esprit à la fois ouvert et scrupuleux lorsque des données nous sont présentées, sans quoi la célèbre citation popularisée par Mark Twain selon laquelle il existe trois types de mensonges (les mensonges, les sacrés mensonges et les statistiques) nous semblera d’autant plus vraie.