Les nombres négatifs

Un matin typique de l'hiver québécois. Il fait froid, très froid. En fait, les fenêtres de votre appartement sont couvertes de givre et le thermomètre affiche −30 °C. Vous prenez l'ascenseur pour descendre au sous-sol de l'immeuble afin de rejoindre le stationnement. Vous appuyez sur le bouton −1. Pendant la descente, vous jetez un œil à votre application bancaire : votre compte est à découvert, le solde est négatif. Une belle (!) journée commence.

Dans cette scène, les nombres négatifs se sont manifestés trois fois en moins de cinq minutes et probablement que personne ne s'en est formalisé. Pourtant, durant de nombreux siècles, des mathématiciens de premier plan les ont jugés durement, jusqu'à les traiter d'absurdes. Aujourd'hui, un élève de secondaire 1 les accepte plus facilement que ne le faisait Descartes à son époque.

Ce paradoxe a pourtant une explication simple qui deviendra aussi le plus grand frein à l'essor des nombres négatifs : il y a ceux qui calculent (marchands, comptables, calculateurs de métier) et qui ont adopté les négatifs très tôt, parce qu'ils étaient commodes. Parallèlement, on retrouve ceux qui se demandent ce qu'est un nombre, qui le pensent comme objet d'étude. Ces derniers ont résisté pendant près de deux mille ans. L'histoire des nombres négatifs, c'est essentiellement celle d'une théorie qui cherche à rattraper la pratique.

La Chine : des bâtonnets de deux couleurs

Dans le huitième chapitre des Neuf Chapitres sur l'art du calcul, un ouvrage compilé entre le II^e siècle avant notre ère et le I^er siècle de notre ère, on présente une méthode pour résoudre des systèmes d'équations linéaires sur une planche à calcul. Pour rappel ce sont plusieurs équations du type $ax+by+cz=d$ dont on cherche une solution (les valeurs de x, y et z) qui rendra toutes les équations vraies.

La procédure consiste principalement à éliminer les variables (x, y ou z) une à une en combinant les lignes du tableau. Les étudiants d'aujourd'hui la reconnaîtraient sans peine : elle ressemble énormément à la méthode de Gauss qu'on enseigne en algèbre linéaire.

Ces soustractions répétées font inévitablement apparaître des quantités négatives. Les calculateurs chinois ne s'en formalisent pas : le texte présente les règles nécessaires pour les additionner et les soustraire. Dans son commentaire rédigé en 263, Liu Hui précise qu'on les distingue par la couleur des bâtonnets : rouge pour les quantités positives, noir pour les négatives. Ce choix a de quoi dérouter le lecteur moderne, pour qui « être dans le rouge » veut plutôt dire être endetté. Une inversion historique dont on perd aujourd'hui la trace !

Pour ces calculateurs, le négatif est un outil avec ses règles d'usage dont les services font que personne ne se demande s'il a sa place parmi les « vrais » nombres.

La Grèce : un nombre, ça compte quelque chose

Chez les Grecs, la question se pose d'une manière bien différente. Pour cette civilisation, le nombre sert essentiellement à compter ou à mesurer quelque chose de concret, que ce soit des moutons, une longueur ou encore une surface. Que serait une longueur de moins trois ? Rien du tout.

Cette conception aura malheureusement la vie longue. Transmise par les savants de langue arabe, puis redécouverte par l'Europe médiévale, la pensée grecque fera longtemps figure d'autorité. Avec elle voyage donc l'idée qu'un nombre doit désigner une quantité, et qu'une quantité ne peut pas être inférieure à rien. Ce sera le principal obstacle des siècles suivants.

L'Inde : fortunes et dettes

En Inde, un savant du nom de Brahmagupta franchit un pas décisif en 628. Dans son traité d'astronomie, il énonce des règles explicites pour ce qu'il appelle les fortunes et les dettes, et traite le zéro comme un nombre à part entière. On y trouve, par exemple, que le produit de deux dettes est une fortune : c'est la première formulation connue de notre « moins par moins donne plus ».

On aurait tort de croire que tout le monde s'engage alors à suivre les idées des savants indiens. Cinq siècles plus tard, Bhaskara II obtient deux valeurs en résolvant un problème et en écarte une avec cette justification pour le moins révélatrice : « La seconde valeur ne doit pas être retenue, car elle est inadéquate ; les gens n'approuvent pas les racines négatives. » Le constat est cruel : le calcul accepte les négatifs, mais la logique les refuse net. Le malaise n'est donc pas seulement grec : il traverse les cultures, y compris celles qui avaient les règles en main pour laisser aux négatifs la place qui leur revenait.

Le monde arabe et l'Europe médiévale : contourner l'obstacle

Vers 820, à Bagdad, le savant persan al-Khwarizmi (dont le nom nous a donné le mot « algorithme ») classe les équations du second degré en six types différents. Pourquoi six alors qu'une seule forme nous suffit aujourd'hui, soit $a{x}^2+bx+c=0$ ? Tout simplement parce que, sans nombres négatifs, il faut séparer de multiples façons cette équation afin que toutes les parties présentes soient positives. Par exemple, $x^2+4x-5=0$ doit devenir $x^2+4x=5$. On ne règle pas le problème des négatifs : on réorganise plutôt la théorie pour éviter de les croiser dans le rétroviseur.

Au début du XIII^e siècle, Fibonacci (celui de la célèbre suite et de ses lapins) adopte une attitude plus pragmatique. Devant un problème commercial sans solution positive, il interprète le résultat négatif comme une dette. C'est encore le point de vue du marchand qui l'emporte.

Les marchands, justement, avaient trouvé leur propre façon de contourner le problème. À partir de la fin du XIII^e siècle, les commerçants italiens tiennent leurs livres en partie double, une méthode que Luca Pacioli codifiera en 1494. Chaque opération est inscrite dans deux colonnes, l'une pour le débit, l'autre pour le crédit. De cette façon, tous les montants inscrits sont positifs et ce sont seulement les écarts entre les deux colonnes qui permettent d'affirmer si l'on est riche ou endetté.

La Renaissance : on les utilise, mais on les insulte

Aux XVI^e et XVII^e siècles, les algébristes manipulent de plus en plus de négatifs, mais le vocabulaire trahit leur embarras. Michael Stifel parle en 1544 de « nombres absurdes », qui sont « moindres que rien ». Cardan, une année plus tard, qualifie les solutions négatives de « fictives ». Même Descartes, en 1637, les appelle des « fausses racines ». On ne doute pas qu'il possédait la compétence pour faire des calculs impliquant ces nombres négatifs, mais, du même souffle, il se refusa à leur accorder le statut de vraies solutions. Tout un vocabulaire pour dire : on n'en veut pas.

Il serait néanmoins injuste de mettre cette résistance sur le compte de l'entêtement pur et simple. Les objections de l'époque étaient sérieuses et le théologien Antoine Arnauld en propose une qui fait encore réfléchir. Si l'on accepte que −1 divisé par 1 soit équivalent à 1 divisé par −1 (les deux valent −1), alors le rapport d'un petit nombre à un grand serait égal au rapport d'un grand nombre à un petit. Avec des valeurs positives, cela n'est guère possible : 0,5 / 2 (qui donne 1/4), n'est pas équivalent à 2 / 0,5 (qui donne 4). Le raisonnement heurte le sens commun, et il faudra du temps pour comprendre que les négatifs nous obligent à abandonner l'idée qu'un rapport compare systématiquement des grandeurs.

Les résistances tardives

On pourrait croire l'affaire réglée au siècle des Lumières, mais il n'en est rien. En 1758, le mathématicien anglais Francis Maseres publie une dissertation qui propose de bannir les négatifs de l'algèbre.

En 1831, Augustus De Morgan, pourtant l'un des esprits les plus fins de son époque, propose un petit problème qui résume bien la situation. Un père a 56 ans, son fils en a 29. Dans combien d'années le père aura-t-il le double de l'âge de son fils ? On pose alors que $56+x=2(29+x)$, et on trouve $x=-2$. De Morgan comprend parfaitement ce que cela signifie : la condition s'est réalisée il y a deux ans, quand le père avait 54 ans et le fils 27. Mais il refuse d'appeler −2 une réponse valable. Selon lui, la réponse négative indique que la question était mal posée et qu'il fallait plutôt demander « il y a combien d'années ? » (J'ai ici l'impression d'entendre certains de mes étudiants à la suite d'une question d'examen jugée alambiquée !). On voit tout le chemin parcouru, et tout celui qui reste : en 1831, on comprend le négatif, mais on lui refuse encore le titre de nombre.

La même époque nous a laissé un témoignage plus intime. Dans Vie de Henry Brulard, son autobiographie, Stendhal raconte son adolescence à Grenoble. Ce grand auteur adorait les mathématiques parce qu'elles lui semblaient la seule discipline incapable d'hypocrisie. D'ailleurs, il y excellait. Malgré tout, une règle le scandalisera : moins par moins donne plus. Il réclamera alors une explication à ses professeurs, mais aucun ne lui en donnera une qui le satisfasse. Pour un esprit qui aimait les mathématiques pour leur rigueur, c'était là une trahison.

Alors, pourquoi moins par moins donne-t-il plus ?

Entre vous et moi, Stendhal méritait une meilleure réponse. En voici une, qui ne demande rien de plus que ce qu'on apprend au secondaire.

Partons d'un fait que personne ne conteste : multiplier par zéro donne zéro. Donc $(-2)\times 0=0$. Écrivons maintenant ce zéro d'une façon un peu particulière, comme $1+(-1)$. On obtient $(-2)\times (1+(-1\left)\right)=0$. Si l'on veut que la distributivité continue de fonctionner (et on y tient, c'est elle qui fait marcher tout le calcul algébrique), on peut développer : $(-2)\times 1+(-2)\times (-1)=0$. Le premier terme vaut −2. Le second n'a donc pas le choix : il doit valoir +2, sinon la somme ne donnerait pas zéro. Le même raisonnement fonctionne avec n'importe quels nombres à la place de 2 et de 1. Honnêtement, je crois que Stendhal aurait aimé !

Cela dit, soyons honnêtes : la règle des signes n'est pas une révélation du St-Esprit. C'est le seul choix qui permet aux règles de calcul déjà en place de continuer à fonctionner. Le mathématicien anglais George Peacock en fera d'ailleurs un principe dès 1830 : quand on agrandit l'univers des nombres, on se doit de conserver les règles qui fonctionnaient déjà.

Et aujourd'hui ?

Les négatifs ont gagné. On les enseigne dès la fin du primaire et plus personne ne les trouve absurdes, fictifs ou faux.

Le malaise, lui, n'a pas complètement disparu. Il s'est déplacé. Dès le XVI^e siècle, pendant qu'on débattait encore de la légitimité des négatifs, une question plus troublante se posait déjà : que vaut la racine carrée d'un nombre négatif ? La plupart des élèves apprennent qu'elle « n'existe pas ». Les ingénieurs, eux, s'en servent tous les jours. Et pour la définir rigoureusement, on utilisera… un couple de nombres. Mais ça, c'est une tout autre histoire.